Jak działa zamiana współrzędnych kartezjańskich na biegunowe
Współrzędne kartezjańskie (prostokątne) opisują punkt przez przesunięcie poziome x i pionowe y względem początku układu (0, 0). Współrzędne biegunowe opisują ten sam punkt przez odległość r od początku układu i kąt θ mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi x.
Wzory: kartezjańskie → biegunowe
- Promień: r = √(x² + y²)
- Kąt: θ = atan2(y, x)
- Radiany na stopnie: deg = rad × (180 / π)
- Postać wskazowa: r ∠ θ
Wzory: biegunowe → kartezjańskie
- Składowa pozioma: x = r · cos(θ)
- Składowa pionowa: y = r · sin(θ)
- Liczba zespolona: z = x + jy = r(cos θ + j sin θ)
- Postać wykładnicza (Eulera): z = r · e^(jθ)
Dlaczego ćwiartka ma znaczenie: atan2(y, x)
Jednoargumentowa funkcja arctan(y/x) zwraca tylko kąty od −90° do 90°, więc nie odróżnia przeciwległych ćwiartek: (−3, −4) daje (−4)/(−3) = 4/3, dokładnie tyle samo co (3, 4). Ten kalkulator używa dwuargumentowej funkcji atan2(y, x), która uwzględnia znaki x i y:
| Ćwiartka | Znaki | Zakres θ | Wzór na θ |
|---|---|---|---|
| Ćwiartka I | x > 0, y > 0 | 0° – 90° | θ = arctan(y / x) |
| Ćwiartka II | x < 0, y ≥ 0 | 90° – 180° | θ = arctan(y / x) + 180° |
| Ćwiartka III | x < 0, y < 0 | 180° – 270° | θ = arctan(y / x) + 180° |
| Ćwiartka IV | x > 0, y < 0 | 270° – 360° | θ = arctan(y / x) + 360° |
Dlaczego warto korzystać z tego kalkulatora?
Stworzony dla uczniów, studentów, nauczycieli i elektryków, którzy potrzebują szybkich i poprawnych przeliczeń:
- Za darmo, bez instalacji: działa w każdej przeglądarce na komputerze, tablecie i telefonie.
- Rozwiązanie krok po kroku: pokazuje każdą wartość pośrednią, a nie tylko wynik.
- Wykres na żywo: rysuje punkt, wektor promienia i kąt podczas wpisywania.
- W obie strony: przełączaj między kartezjańskie → biegunowe i biegunowe → kartezjańskie jednym kliknięciem.